【中学生】数学で使う役に立つ美しい公式ベスト3|兵庫県公立高校入試情報

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こんにちは。今回は中学生が学習する数学の範囲で(個人的に)美しい思う公式3つをご紹介していきたいと思います。数学が嫌いな生徒も数学が好きになるきっかけになってくれれば幸いです。

さて、今回ご紹介する公式は以下の3つの判断基準で選びました。

① 公式がシンプルで覚えやすく且つ美しい
② 公式を使うほうが早くて簡単
③ 比較的使用頻度が多い

円錐の側面積を求める公式

おそらく中学1年生で登場する円錐の表面積を求める問題。上記右図の展開図の側面積(Sの部分)を求める公式です。

スタンダードな問題であれば、母線(赤色部分)と半径(青色部分)に数字が設定されており表面積を求めるよう問題が出題されます。

底面積(半径が記入されている円の面積)を求めるのは難しくないのですが、側面積を求めるのが難しい。というかめんどくさい・・・。

順序とすれば、①底面積の弧の長さを求める → ②側面積の中心角を求める → ③側面積を求める と3ステップ計算をしなければなりません。

計算が苦手な生徒はこのプロセスの途中でミスする可能性もあります。

なので、一撃で円錐の側面積を求められる公式を使ってしまいましょう。

(円錐の側面積) = (母線) × (半径) × (π【パイ】)
これで暗算レベルで求めることができます。例えば母線が10㎝、半径が5㎝の場合は【10×5×π=50π】ということになります。表面積を求めよという問題であれば、それに底面積の25πを足せばいいだけなので、75πとなります。
中心角を求める問題がなく、円錐の表面積や側面積のみ求める問題の場合は威力を発揮すると思います。

Y=aX2 の変化の割合を求める方法

続いては、中学3年生で学習する Y=aXで使用する公式です。

単純に変化の割合を求めたり、はたまたある変域における平均の速さを求める問題などに役立ちます。

こちらは具体的に問題で説明していきます。


【例題】

y=2x2のとき、Xが-1から3まで増加したときの変化の割合を求めよ。

【解答】

X=-1のときY=2、X=3のときY=18

変化の割合は、【Yの増加量】÷【Xの増加量】なので、【18-2】÷【3-(-1)】=16÷4=4

よって、Xが-1から3まで増加した時の変化の割合は 4 。


普通に解くとこんな感じです。普通に解いてもそこまで難しいわけではないのですがなんか計算ミスをしてしまいそうです。

ですから、この場合は以下の公式を使うと便利です。


【別解答】

(変化の割合) = (-1+3) × 2 = 4


これも暗算レベルで出来てしまいます。

公式にするとこんな感じです。

Y=aXのとき、XがSからTまで増加したときの変化の割合は、

(変化の割合) = ( S + T ) × a

で求めることができます。

知っておけばこちらも役に立つと思います。

正四面体の表面積と体積を求める公式

これが最後です。上記二つより使用頻度がやや少ない気がしますが、正四面体の表面積と体積を求める公式をご紹介します。

こちらも式中に√【ルート】を用いるので学習するのは中学3年生になってからだと思います。正四面体とは簡単に言えば同じ大きさの正三角形4枚で作られた立体のことです。

■正四面体の表面積

まずは、予備知識として正三角形の面積を求める公式です。むしろこちらのほうがよく使うかもしれません・・・。

つまり正四面体の表面積の公式はこれが4枚ありますので、単純に4倍してやればOKです。

分数がなくなってすっきりしましたね。

これが3つ目の美しい公式です。

■正四面体の体積

最後に正四面体の体積を求める公式です。これも結局のところ高さを求めるのがめんどうです。ですから、公式を暗記しておくほうが便利な時もあります。

公式だけに頼りすぎるのもよくありません!使い分けできるように!

この公式も知っていると便利だと思います。

まとめ

以上いかがだったでしょうか?公式は知っておくと便利な時もありますが、同時に数学の学習に必要な問題を解くプロセス(思考回路)を奪ってしまうことにもなります。今回各公式の証明は割愛しておりますが、なぜこの式が導かれるのか気になった生徒は自分で証明してみてください。それも数学力を養う糧となるはずです。数学が苦手な(嫌いな)生徒はたくさんいると思いますが、少しでも興味を持ってくれれば幸いです。

最後まで読んでいただきありがとうございました。

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